Die Normalverteilung verstehen
Die Glockenkurve der Normalverteilung und ihre Faustregel
Die Normalverteilung ist eine zentrale Verteilung der Statistik und bildet die Grundlage zahlreicher Tests. Dieser Leitfaden erläutert die Glockenkurve, die Rolle von Mittelwert und Standardabweichung sowie die 68-95-99-Regel und gibt Hinweise zur Überprüfung auf Normalverteilung.
Was die Normalverteilung ist
Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) ist eine symmetrische, glockenförmige Verteilung. Ihre Form wird durch zwei Kennwerte bestimmt: den Mittelwert (Lage des Gipfels) und die Standardabweichung (Breite der Glocke). Mittelwert, Median und Modalwert fallen bei ihr zusammen. Diese Definition beschreibt die typische glockenförmige Kurve.
Die 68-95-99-Regel
In einer Normalverteilung liegen bestimmte Anteile der Werte in festen Abständen der Standardabweichung σ um den Mittelwert μ:
- rund 68 % im Intervall μ ± 1σ
- rund 95 % im Intervall μ ± 2σ
- rund 99,7 % im Bereich μ ± 3σ
Diese Faustregel hilft dabei, Werte einzuordnen und Ausreißer zu erkennen.
z-Wert und Standardnormalverteilung
Mit dem z-Wert z = (x − μ) / σ standardisierst du einen Wert. Stammt die Ausgangsvariable aus einer Normalverteilung, folgen die standardisierten Werte der Standardnormalverteilung (Mittelwert 0, Standardabweichung 1). Dadurch lassen sich Werte aus unterschiedlichen Verteilungen vergleichen und Wahrscheinlichkeiten in Tabellen ablesen. Das bildet die Grundlage vieler Tests und des Konfidenzintervalls
Bedeutung der Normalverteilung
Bei t-Tests betrifft die Normalitätsannahme je nach Variante die Werte innerhalb der Gruppen oder die paarweisen Differenzen; bei der linearen Regression bezieht sie sich für die klassische Inferenz auf die Fehler beziehungsweise Residuen. Die jeweils relevante Verteilung kannst du grafisch mit einem Histogramm oder Q-Q-Plot sowie mit Tests wie dem Shapiro-Wilk-Test überprüfen. Bei ausreichend großen Stichproben kann der zentrale Grenzwertsatz die Verteilung von Mittelwerten unter weiteren Voraussetzungen annähern; ob Abweichungen unkritisch sind, hängt jedoch vom Verfahren, der Stichprobengröße und den Daten ab.
Häufige Fehler
Ein typischer Fehler besteht darin, anzunehmen, alle Daten seien normalverteilt, obwohl viele reale Verteilungen schief sind. Weitere Fehler sind, die 68-95-99-Regel auf nicht normalverteilte Daten anzuwenden und den Shapiro-Wilk-Test bei sehr großen Stichproben zu überinterpretieren, obwohl bereits winzige Abweichungen signifikant werden.
Weitere Statistik-Grundlagen findest du unter Standardabweichung berechnen und Konfidenzintervall berechnen. Die deskriptive Statistik bietet einen Überblick, während der Statistik-und-SPSS-Hub alle Auswertungen bündelt. Ein Korrekturlesen prüft die Berichtsweise.