Die Normalverteilung verstehen
Die Glockenkurve und ihre Faustregel
Die Normalverteilung ist die wichtigste Verteilung der Statistik und Voraussetzung vieler Tests. Diese Anleitung erklärt die Glockenkurve, die Rolle von Mittelwert und Standardabweichung und die 68-95-99-Regel – mit Hinweisen zur Prüfung auf Normalverteilung.
Was die Normalverteilung ist
Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) ist eine symmetrische, glockenförmige Verteilung. Ihre Form wird durch zwei Kennwerte bestimmt: den Mittelwert (Lage des Gipfels) und die Standardabweichung (Breite der Glocke). Mittelwert, Median und Modalwert fallen bei ihr zusammen. Diese Definition beschreibt die typische glockenförmige Kurve.
Die 68-95-99-Regel
Bei einer Normalverteilung liegen feste Anteile der Werte in Abständen der Standardabweichung σ um den Mittelwert μ:
- rund 68 % im Bereich μ ± 1σ
- rund 95 % im Bereich μ ± 2σ
- rund 99,7 % im Bereich μ ± 3σ
Diese Faustregel hilft, Werte einzuordnen und Ausreißer zu erkennen.
z-Wert und Standardnormalverteilung
Mit dem z-Wert z = (x − μ) / σ rechnest du jeden Wert in die Standardnormalverteilung um (Mittelwert 0, Standardabweichung 1). So lassen sich Werte aus verschiedenen Verteilungen vergleichen und Wahrscheinlichkeiten in Tabellen ablesen – die Grundlage vieler Tests und des Konfidenzintervalls.
Warum die Normalverteilung so wichtig ist
Viele Verfahren – etwa der t-Test und die Regression – setzen annähernd normalverteilte Daten voraus. Ob diese Annahme hält, prüfst du grafisch (Histogramm, Q-Q-Plot) oder mit Tests wie Shapiro-Wilk. Bei großen Stichproben ist die Verletzung dank des zentralen Grenzwertsatzes oft unkritisch.
Häufige Fehler
Typisch ist die Annahme, alle Daten seien normalverteilt – viele reale Verteilungen sind schief. Weitere Fehler: die 68-95-99-Regel auf nicht normalverteilte Daten anwenden und den Shapiro-Wilk-Test bei sehr großen Stichproben überinterpretieren, wo schon winzige Abweichungen signifikant werden.
Mehr Statistik-Grundlagen: Standardabweichung berechnen und Konfidenzintervall berechnen. Einen Überblick gibt die deskriptive Statistik, alle Auswertungen bündelt der Statistik-und-SPSS-Hub. Die Berichtsweise prüft ein Korrekturlesen.
