Die Standardabweichung berechnen
Wie berechnet man die Standardabweichung?
Standardabweichung berechnen: Bestimme den Mittelwert, quadriere jede Abweichung, addiere die Quadrate und teile bei einer vollständigen Grundgesamtheit durch n oder bei der üblichen Stichprobenvarianz durch n minus 1. Ziehe anschließend die Quadratwurzel. Welche Formel passt, hängt vom statistischen Ziel ab.
Zuerst entscheiden: Grundgesamtheit oder Stichprobe
Für eine vollständig betrachtete Grundgesamtheit wird die Summe der quadrierten Abweichungen durch n geteilt. Soll die Varianz einer Grundgesamtheit aus einer Stichprobe geschätzt werden, steht bei der üblichen Stichprobenvarianz n minus 1 im Nenner. NIST definiert die Stichprobenstandardabweichung entsprechend als Quadratwurzel aus der Summe der quadrierten Abweichungen geteilt durch N minus 1.
Die Formulierung n minus 1 macht die Standardabweichung unverzerrt wäre zu weitgehend. Die Korrektur macht die zugehörige Stichprobenvarianz unter üblichen Annahmen zu einem unverzerrten Schätzer für die Populationsvarianz. Welche Formel ein Programm verwendet, erkennst du an Funktionsname, Dokumentation und Nenner. Notiere diese Entscheidung in deiner Methodik.
Wenn du die Standardabweichung berechnen und mit einer Softwareausgabe vergleichen möchtest, verwende in beiden Wegen dieselbe Formel. Unterschiedliche Nenner erzeugen unterschiedliche, aber für ihren jeweiligen Zweck nachvollziehbare Ergebnisse.
Das Rechenbeispiel vollständig kontrollieren
Für 4, 8, 6, 5 und 3 beträgt der Mittelwert 5,2. Die quadrierten Abweichungen sind 1,44, 7,84, 0,64, 0,04 und 4,84. Ihre Summe ist 14,8. Als Stichprobe ergibt sich die Varianz 14,8 / 4 = 3,7 und damit s = √3,7 ≈ 1,92. Als vollständige Grundgesamtheit wäre die Varianz 14,8 / 5 = 2,96 und die Standardabweichung σ ≈ 1,72.
| Situation | Nenner und Ergebnis |
|---|---|
| Stichprobe zur Schätzung | n minus 1, hier s ≈ 1,92 |
| vollständige Grundgesamtheit | n, hier σ ≈ 1,72 |
Was die Kennzahl tatsächlich ausdrückt
Die Standardabweichung ist nicht die mittlere absolute Entfernung der Werte vom Mittelwert. Sie beruht auf quadrierten Abweichungen und ist die Quadratwurzel der Varianz. Große Abweichungen erhalten dadurch mehr Gewicht. Da nach dem Wurzelziehen wieder die ursprüngliche Einheit vorliegt, lässt sich die Kennzahl leichter zusammen mit dem Mittelwert lesen als die quadrierte Varianz.
Die bekannte 68-95-Regel gilt nur näherungsweise bei normalverteilten Daten: Dann liegen ungefähr 68 Prozent im Bereich von einer und etwa 95 Prozent im Bereich von zwei Standardabweichungen um den Mittelwert. Ohne passende Verteilungsannahme darf aus der Standardabweichung allein kein solcher Anteil abgeleitet werden. Prüfe zusätzlich Verteilung, Ausreißer und gegebenenfalls robuste Kennzahlen.
Ergebnis nachvollziehbar berichten
Nenne Stichprobengröße, Mittelwert, Standardabweichung und Einheit, beispielsweise n = 5, M = 5,20, SD = 1,92 Punkte. Gib an, wie fehlende Werte behandelt wurden und ob sich n zwischen Variablen unterscheidet. Bei stark schiefen Verteilungen können Median und Interquartilsabstand aussagekräftiger sein. Eine einzelne Streuungszahl ersetzt keine Beschreibung der Datenqualität.
Quellen: NIST, Definition der Stichprobenstandardabweichung und NIST, Mittelwert und Standardabweichung der Normalverteilung, geprüft am 3. August 2026.
Streuung um den Mittelwert in drei Schritten
Die Standardabweichung zeigt, wie weit die einzelnen Werte um den Mittelwert schwanken. Dieser Ratgeber erklärt die Formel, macht den Unterschied zwischen Stichprobe und Grundgesamtheit deutlich und rechnet die Streuung Schritt für Schritt an einem Beispiel vor.
Was die Standardabweichung über die Daten verrät
Die Standardabweichung (Symbol s oder σ) beschreibt, wie weit die einzelnen Messwerte im Schnitt vom Mittelwert abweichen. Ist der Kennwert klein, drängen sich die Daten eng um den Mittelwert, ist er groß, verteilen sie sich breit. Rechnerisch entsteht sie als Wurzel der Varianz und trägt dieselbe Einheit wie die Ausgangswerte.
Die Formel im Überblick
Bei einer Stichprobe lautet die Formel: s = Wurzel aus [ Summe (xi − x̄)² / (n − 1) ]. Geht es um die Grundgesamtheit, steht im Nenner n statt n − 1. Dieses n − 1 (die Bessel-Korrektur) sorgt dafür, dass die Streuung einer Stichprobe nicht systematisch zu niedrig ausfällt – in Abschlussarbeiten arbeitest du deshalb fast immer mit der Stichprobenformel.
Standardabweichung Schritt für Schritt berechnen
Nehmen wir als Beispiel die Werte 4, 8, 6, 5, 3:
- 1. Mittelwert: (4+8+6+5+3) / 5 = 5,2
- 2. Abweichungen quadrieren: (−1,2)², (2,8)², (0,8)², (−0,2)², (−2,2)² = 1,44 + 7,84 + 0,64 + 0,04 + 4,84 = 14,8
- 3. Durch n − 1 = 4 teilen: 14,8 / 4 = 3,7 (das ist die Varianz)
- 4. Wurzel ziehen: √3,7 ≈ 1,92
Damit liegt die Standardabweichung bei etwa 1,92.
Die Standardabweichung richtig interpretieren
Liegt näherungsweise eine Normalverteilung vor, fallen etwa 68 % der Werte in den Bereich Mittelwert ± eine Standardabweichung und rund 95 % in den Bereich ± zwei Standardabweichungen. Gib die Standardabweichung stets gemeinsam mit dem Mittelwert an, üblicherweise in Klammern: M = 5,2 (SD = 1,92).
Häufige Stolperfallen
Am häufigsten passiert Folgendes: Varianz und Standardabweichung werden verwechselt (die Wurzel bleibt ungezogen), im Nenner steht n statt n − 1 bei Stichproben, oder die Einheit fehlt am Schluss. Kontrolliere zusätzlich, ob dein Tool die Stichproben- oder Populationsformel nutzt – in SPSS und Excel (Funktion STABW.S) ist die Stichprobenvariante voreingestellt.
Noch mehr Statistik-Grundlagen findest du bei Varianz berechnen und Mittelwert berechnen. Den großen Zusammenhang liefert die deskriptive Statistik, während der Statistik-und-SPSS-Hub sämtliche Auswertungen bündelt. Die saubere Berichtsweise sichert am Ende ein Korrekturlesen.
