Den Mittelwert berechnen
Das arithmetische Mittel und seine Grenzen
Wer den Mittelwert berechnen möchte, meint damit meist das arithmetische Mittel. Hier erfährst du, wie du die passende Formel anwendest, ein Beispiel Schritt für Schritt löst und das Ergebnis richtig einordnest. Außerdem siehst du, wann Median oder Modalwert aussagekräftiger sind.
Definition: Was ist das arithmetische Mittel?
Das arithmetische Mittel, häufig einfach Mittelwert genannt und mit dem Symbol x̄ dargestellt, fasst mehrere Messwerte in einer Kennzahl zusammen. Dafür addierst du alle Werte und teilst die Summe durch die Anzahl der Werte. Als gebräuchlichstes Lagemaß kennzeichnet es den rechnerischen „Schwerpunkt“ eines Datensatzes. Sinnvoll ist diese Berechnung bei einem metrischen Skalenniveau. Bei Rangdaten eignet sich dagegen der Median besser.
Formel für den Mittelwert
Die Formel lautet x̄ = (x1 + x2 + … + xn) / n. Dabei stehen die einzelnen x-Werte für die Messwerte und n für deren Anzahl. Praktisch bedeutet das: Zuerst bildest du die Summe sämtlicher Beobachtungen, anschließend teilst du sie durch die Gesamtzahl. Liegen Werte mit Häufigkeiten vor, multiplizierst du jeden Wert zunächst mit seiner Häufigkeit. Danach addierst du diese Produkte und teilst das Ergebnis durch die Gesamtzahl. So erhältst du das gewogene Mittel.
Arithmetisches Mittel Schritt für Schritt berechnen
Das folgende Beispiel zeigt den vollständigen Rechenweg für die Werte 4, 8, 6, 5, 3:
- 1. Werte summieren: 4 + 8 + 6 + 5 + 3 = 26
- 2. Anzahl bestimmen: n = 5
- 3. Teilen: 26 / 5 = 5,2
Damit beträgt das arithmetische Mittel 5,2. Der berechnete Wert fasst die fünf einzelnen Beobachtungen als gemeinsamen Durchschnitt zusammen. Weil jeder Wert mit demselben Gewicht in die Rechnung eingeht, reicht es aus, die Summe durch die Anzahl zu teilen.
Grenzen des Mittelwerts bei Ausreißern
Ein arithmetisches Mittel ist empfindlich gegenüber Ausreißern, weil jeder Messwert vollständig in die Summe einfließt. Schon ein einzelner extremer Wert kann den Durchschnitt deshalb deutlich verschieben. Das wird bei den Gehältern 2.000, 2.100, 2.200 und 30.000 sichtbar: Das Mittel liegt bei 9.075 €, obwohl dieser Betrag keinen typischen Wert der Reihe darstellt. In einer solchen Verteilung bildet der Median die Mitte besser ab. Sieh dir daher die Daten und mögliche Extremwerte an, bevor du dich für ein Lagemaß entscheidest.
Häufige Fehler beim Berechnen und Berichten
Prüfe zuerst, ob deine Daten überhaupt für einen Mittelwert geeignet sind. Rangdaten oder Nominaldaten zu mitteln ist unzulässig. Weitere typische Fehler sind übersehene Ausreißer und ein zu frühes Runden während der Rechnung. Rechne deshalb zunächst mit den vorhandenen Werten weiter und runde erst das Ergebnis. In einer statistischen Auswertung wird der Mittelwert meist gemeinsam mit der Standardabweichung angegeben. So werden nicht nur die Lage, sondern auch die Streuung der Daten sichtbar. Trotz seiner Grenzen bleibt das arithmetische Mittel das gebräuchlichste Lagemaß.
Welches Lagemaß zu deiner Fragestellung passt, hängt von der Art und Verteilung der Daten ab. Ergänzend kannst du den Median berechnen oder den Modalwert bestimmen. Die deskriptive Statistik ordnet diese Kennzahlen ein, während der Statistik-und-SPSS-Hub die Auswertungen im Zusammenhang zeigt. Ein Korrekturlesen kann anschließend die Berichtsweise prüfen.