Das Konfidenzintervall berechnen
Der Unsicherheitsbereich einer Schätzung
Ein Konfidenzintervall gibt einen Bereich um einen Schätzwert an. Unter den Voraussetzungen des verwendeten statistischen Verfahrens enthält ein so berechnetes Intervall bei wiederholter Anwendung den wahren Wert in dem durch das Konfidenzniveau angegebenen Anteil der Fälle. Dieser Leitfaden erläutert die Formel, erklärt die Bedeutung von Standardfehler und Konfidenzniveau und zeigt die Berechnung eines 95-%-Konfidenzintervalls Schritt für Schritt.
Was ein Konfidenzintervall wirklich aussagt
Ein Konfidenzintervall (KI) ist ein Bereich um einen Schätzwert, meist den Mittelwert. Ein 95-%-KI bedeutet: Bei wiederholter Erhebung würden unter den Voraussetzungen des Verfahrens 95 % der so berechneten Intervalle den tatsächlichen Wert erfassen.
Die Formel im Detail
Für den Mittelwert lautet das KI: x̄ ± z · (s / √n). Darin steht x̄ für den Mittelwert, s für die Standardabweichung, n für den Stichprobenumfang und z für den Wert der Standardnormalverteilung (1,96 bei 95 %). Der Ausdruck s / √n bildet den Standardfehler. Bei kleinen Stichproben tritt an die Stelle von z der t-Wert.
Konfidenzintervall Schritt für Schritt berechnen
Vereinfachtes Beispiel mit z-Näherung: x̄ = 50, s = 10, n = 100 auf dem 95-%-Niveau:
- 1. Standardfehler: 10 / √100 = 10 / 10 = 1
- 2. z-Wert für 95 %: 1,96
- 3. Fehlermarge: 1,96 · 1 = 1,96
- 4. Intervall: 50 ± 1,96 = [48,04; 51,96]
Das 95-%-Konfidenzintervall reicht somit von rund 48 bis 52.
Faktoren für die Intervallbreite
Das Intervall wird schmaler und damit präziser, wenn der Stichprobenumfang n steigt und die Streuung sinkt. Es wird Breiter bei einem höheren Konfidenzniveau: Ein 99-%-KI ist größer als ein 95-%-KI, da mehr Sicherheit mehr Spielraum erfordert. Meist hat die Stichprobengröße den größten Einfluss.
Häufige Fehler und Missverständnisse
Ein 95-%-KI bedeutet nicht, dass der wahre Wert mit 95 % Wahrscheinlichkeit im aktuellen Intervall liegt, sondern bezieht sich auf das Verfahren über viele Stichproben. Die Wahl zwischen z- und t-Wert hängt unter anderem davon ab, ob die Populationsstandardabweichung bekannt ist; wird sie aus der Stichprobe geschätzt, wird häufig ein t-Wert verwendet. Standardfehler und Standardabweichung sind ebenfalls nicht dasselbe.
Weitere Statistik-Grundlagen findest du bei der Normalverteilung und zum Thema Standardabweichung berechnen. Die deskriptive Statistik liefert den größeren Rahmen, alle Auswertungen fasst der Statistik-und-SPSS-Hub zusammen. Ein Korrekturlesen kann die sprachliche Ergebnisdarstellung prüfen.