Das Konfidenzintervall berechnen
Der Unsicherheitsbereich einer Schätzung
Ein Konfidenzintervall beschreibt die Spanne, innerhalb derer der wahre Wert mit einer festgelegten Wahrscheinlichkeit zu erwarten ist. Diese Anleitung erklärt die Formel, beleuchtet die Rolle von Standardfehler und Konfidenzniveau und rechnet ein 95-%-Konfidenzintervall vollständig durch.
Was ein Konfidenzintervall wirklich aussagt
Ein Konfidenzintervall (KI) legt eine Spanne um einen Schätzwert – in der Regel den Mittelwert – fest, die den wahren Wert der Grundgesamtheit mit einer festgelegten Wahrscheinlichkeit einschließt. Ein 95-%-KI heißt: Wiederholt man die Erhebung sehr oft, so treffen 95 % der auf diese Weise gebildeten Intervalle den wahren Wert.
Die Formel im Detail
Für den Mittelwert lautet das KI: x̄ ± z · (s / √n). Darin steht x̄ für den Mittelwert, s für die Standardabweichung, n für den Stichprobenumfang und z für den Wert der Standardnormalverteilung (1,96 bei 95 %). Der Ausdruck s / √n bildet den Standardfehler. Bei kleinen Stichproben tritt an die Stelle von z der t-Wert.
Konfidenzintervall Schritt für Schritt berechnen
Beispiel mit x̄ = 50, s = 10, n = 100 auf dem 95-%-Niveau:
- 1. Standardfehler: 10 / √100 = 10 / 10 = 1
- 2. z-Wert für 95 %: 1,96
- 3. Fehlermarge: 1,96 · 1 = 1,96
- 4. Intervall: 50 ± 1,96 = [48,04; 51,96]
Das 95-%-Konfidenzintervall erstreckt sich damit von etwa 48 bis 52.
Wovon die Breite des Intervalls abhängt
Das Intervall fällt schmaler (also genauer) aus, wenn der Stichprobenumfang n größer und die Streuung kleiner wird. Breiter wird es bei einem höheren Konfidenzniveau: Ein 99-%-KI umfasst mehr als ein 95-%-KI, denn mehr Sicherheit kostet mehr Spielraum. Den stärksten Einfluss hat in der Regel die Stichprobengröße.
Typische Fehler und Fehldeutungen
Die häufigste Fehldeutung: Ein 95-%-KI besagt nicht, dass der wahre Wert mit 95 % Wahrscheinlichkeit gerade im vorliegenden Intervall steckt – gemeint ist das Verfahren betrachtet über viele Stichproben hinweg. Ebenfalls verbreitet: z statt t bei kleinen Stichproben sowie das Verwechseln von Standardfehler und Standardabweichung.
Noch mehr Statistik-Grundlagen findest du bei der Normalverteilung und beim Thema Standardabweichung berechnen. Den größeren Rahmen steckt die deskriptive Statistik ab, sämtliche Auswertungen bündelt der Statistik-und-SPSS-Hub. Die Ergebnisdarstellung prüft ein Korrekturlesen.
