Paarweiser Vergleich: Aufbau und Anwendung nach Tukey

Paarweiser vergleich

Ein paarweiser Vergleich betrachtet die Unterschiede zwischen jeweils zwei Gruppen. Der belegte Tukey-Ansatz zeigt, wie sechs Vergleiche bei vier Gruppen gemeinsam über Konfidenzintervalle beurteilt werden.

Was ein paarweiser Vergleich leistet

Ein paarweiser Vergleich stellt jeweils zwei Gruppenmittel gegenüber. Bei vier Gruppen umfasst die vollständige Menge der Gegenüberstellungen sechs Differenzen. Im NIST-Beispiel sind dies Vergleiche zwischen den Mittelwerten von Gruppe 1, Gruppe 2, Gruppe 3 und Gruppe 4. Der Begriff wird hier somit für statistische Differenzen von Gruppenmitteln verwendet.

Für das Studium oder einen wissenschaftlichen Text ist zu prüfen, ob diese statistische Bedeutung gemeint ist. Ermittle dazu, ob die Aufgabe Gruppenmittel, paarweise Differenzen und Konfidenzintervalle vorgibt. Ergibt diese Prüfung keinen Bezug zu diesen Merkmalen, leite aus diesem Abschnitt keine andere Bedeutung des Begriffs ab.

Im belegten Beispiel werden die sechs Vergleiche mit einem Konfidenzkoeffizienten von 95 Prozent ausgewertet. Der dafür benötigte Wert stammt aus der studentisierten Spannweitenverteilung. Damit folgen auf die Auswahl der Paare deren Differenzen und die zugehörigen Konfidenzintervalle.

Die Auswertung des Beispiels richtet sich nach der Null im jeweiligen Intervall. Bei Gruppe 1 minus Gruppe 4 und bei Gruppe 2 minus Gruppe 3 liegt die Null innerhalb der Intervallgrenzen; diese Unterschiede gelten dort nicht als signifikant von null verschieden. Die übrigen vier Intervalle enthalten keine Null und stehen im Beispiel für signifikante Unterschiede.

Formuliere in einer Seminararbeit den statistischen Gegenstand konkret: Gruppenmittel werden paarweise verglichen und anhand zugehöriger Konfidenzintervalle beurteilt. Beschränke die Aussage dabei auf Gruppenmittel, Paardifferenzen und die im jeweiligen Material angegebenen Intervalle.

Begriff, Bestandteile und Reihenfolge

Der Aufbau beginnt mit der vollständigen Menge der Paarvergleiche. Für vier Gruppen werden die Differenzen zwischen Gruppe 2 und Gruppe 1, zwischen Gruppe 3 und Gruppe 1 sowie zwischen Gruppe 1 und Gruppe 4 aufgeführt. Hinzu kommen die Differenzen zwischen Gruppe 2 und Gruppe 3, zwischen Gruppe 2 und Gruppe 4 sowie zwischen Gruppe 3 und Gruppe 4. Jedes Paar erscheint dabei als Differenz zweier Gruppenmittel.

Der nächste Bestandteil ist das Konfidenzintervall für jedes Paar. Das Beispiel verwendet einen Konfidenzkoeffizienten von 95 Prozent und das erforderliche Perzentil der studentisierten Spannweitenverteilung. Es umfasst vier Gruppen und insgesamt 20 Beobachtungen; bezeichnet werden diese Angaben mit r = 4 und n_t = 20. Bei einer anderen Aufgabe sind die dafür vorgegebenen Werte gesondert zu prüfen.

Danach wird jedes Intervall inhaltlich gelesen. Für die Differenz Gruppe 2 minus Gruppe 1 reicht das Intervall von 0,29 bis 4,47. Für Gruppe 3 minus Gruppe 1 reicht es von 1,13 bis 5,31. Für Gruppe 1 minus Gruppe 4 reicht es von minus 2,25 bis 1,93. Für Gruppe 2 minus Gruppe 3 reicht es von minus 2,93 bis 1,25. Für Gruppe 2 minus Gruppe 4 reicht es von 0,13 bis 4,31. Für Gruppe 3 minus Gruppe 4 reicht es von 0,97 bis 5,15.

Die Bestandteile lassen sich nachvollziehbar ordnen: Zuerst werden die Gruppenpaare festgelegt, anschließend wird für jedes Paar ein Intervall angegeben. Danach wird geprüft, ob die Null innerhalb der Intervallgrenzen liegt. Im Beispiel folgen daraus die Aussagen zu signifikanten oder nicht signifikanten Unterschieden.

Die allgemeine Definition der studentisierten Spannweite ist vom konkreten Paarvergleich zu trennen. Im Beispiel dient die studentisierte Spannweitenverteilung dazu, das benötigte Perzentil zu bestimmen. Die sechs Paarvergleiche selbst werden als Differenzen der Gruppenmittel angegeben.

Ungleiche Stichprobengrößen werden im Abschnitt ebenfalls genannt. Für diesen Fall ist für jeden Paarvergleich eine geschätzte Standardabweichung zu berechnen. Das Verfahren wird dort mitunter Tukey-Kramer-Methode genannt. Für weitere Angaben zu einem solchen Fall sind die Daten und Vorgaben der jeweiligen Aufgabe zu prüfen.

So wird die Auswertung durchgeführt

1. Gruppen bestimmen: Lege fest, welche vier Gruppen im belegten Beispiel miteinander verglichen werden. Ergebnis dieses Schritts ist die Gruppenzahl vier.
2. Paare vollständig erfassen: Schreibe die sechs in der Quelle genannten Differenzen auf. Ergebnis ist eine vollständige Vergleichsliste ohne ein zusätzlich erfundenes Paar.
3. Konfidenzniveau festhalten: Verwende für das Beispiel den angegebenen Konfidenzkoeffizienten von 95 Prozent. Ergebnis ist ein klar gekennzeichnetes Auswertungsniveau.
4. Referenzwert zuordnen: Ordne den benötigten Perzentilwert der studentisierten Spannweitenverteilung zu. Für das Beispiel verweist die Quelle auf den Wert q mit den Parametern 0,05, 4 und 16. Ergebnis ist die im Verfahren verwendete Referenzangabe.
5. Intervall je Paar eintragen: Übernimm die sechs angegebenen unteren und oberen Grenzen in einer Tabelle oder einer geordneten Liste. Ergebnis ist für jedes Paar ein eigenes Konfidenzintervall.
6. Null prüfen: Kontrolliere bei jedem Intervall, ob null zwischen der unteren und der oberen Grenze liegt. Ergebnis ist je Paar eine Zuordnung zu „enthält null“ oder „enthält null nicht“.
7. Signifikanz formulieren: Beurteile ein Intervall mit enthaltenem null im Beispiel als nicht signifikant verschieden von null. Beurteile ein Intervall ohne null im Beispiel als signifikant verschieden von null. Ergebnis ist eine begründete Aussage, die direkt an der Intervalllage ansetzt.
8. Gesamtergebnis zusammenfassen: Halte fest, welche Paare zur ersten und welche zur zweiten Gruppe gehören. Ergebnis ist eine knappe Gesamtaussage über alle sechs Vergleiche.
9. Sonderfall getrennt markieren: Falls ungleiche Stichprobengrößen vorliegen, prüfe, ob für jedes Paar eine geschätzte Standardabweichung angegeben oder berechnet wurde. Ergebnis ist entweder ein belegter Sonderfallhinweis oder eine konkrete offene Prüfstelle.

Prüfe abschließend, ob die Intervallprüfung vor der Schlussfolgerung steht und ob die sechs Vergleiche vollständig erfasst sind.

Durchgängiges Beispiel mit vier Gruppen

Angenommen, eine Auswertung enthält die vier Gruppen 1, 2, 3 und 4 sowie insgesamt 20 Beobachtungen. Für die gemeinsame Beurteilung wird ein Konfidenzkoeffizient von 95 Prozent verwendet. Die sechs Paarvergleiche werden als Differenzen der jeweiligen Gruppenmittel notiert.

Die Anwendung folgt bei jedem Paar demselben Muster. Zuerst wird die Differenz benannt. Danach werden die beiden Intervallgrenzen gelesen. Beim Vergleich von Gruppe 1 und Gruppe 4 liegt null zwischen minus 2,25 und 1,93. Deshalb wird dieser Unterschied im Quellenbeispiel nicht als signifikant verschieden von null beurteilt. Beim Vergleich von Gruppe 2 und Gruppe 4 liegt das Intervall zwischen 0,13 und 4,31. Null liegt dort nicht innerhalb der Grenzen, deshalb wird dieser Unterschied als signifikant verschieden von null beurteilt.

Die zusammenfassende Aussage lautet im Beispiel: Die Differenzen zwischen Gruppe 1 und Gruppe 4 sowie zwischen Gruppe 2 und Gruppe 3 sind nicht signifikant verschieden von null. Die übrigen vier Paare werden als signifikant verschieden von null ausgewiesen. Dieses Ergebnis bezieht sich ausschließlich auf die sechs angegebenen Intervalle und auf den beschriebenen Viergruppenfall.

Für eine weitere Darstellung prüfe, ob Gruppen, Intervalle und Parameter angegeben sind. Fehlen Angaben, markiere die Intervallgrenzen und den verwendeten Konfidenzkoeffizienten als offene Prüfstelle.

Definition, Abgrenzung und Form prüfen

Inhaltliche Prüfung: Prüfe zuerst die Definition. Wird der paarweise Vergleich als Gegenüberstellung jeweils zweier Gruppenmittel beschrieben? Sind bei vier Gruppen die sechs Vergleichspaare vollständig aufgeführt? Wurde kein Vergleich ergänzt, der im Quellenbeispiel nicht genannt ist?

Prüfe danach die zentralen Merkmale. Stehen für die einzelnen Paare eigene Konfidenzintervalle bereit? Ist der Konfidenzkoeffizient von 95 Prozent im Beispiel korrekt wiedergegeben? Sind die vier Gruppen und insgesamt 20 Beobachtungen als Merkmale dieses konkreten Beispiels gekennzeichnet? Wurde die studentisierte Spannweitenverteilung nur als Bezug für das erforderliche Perzentil beschrieben und nicht mit den Paarunterschieden gleichgesetzt?

Anwendungsprüfung: Kontrolliere für jedes Intervall die Lage der Null. Die beiden Intervalle mit null, nämlich für Gruppe 1 minus Gruppe 4 sowie für Gruppe 2 minus Gruppe 3, müssen als nicht signifikant verschieden von null ausgewiesen werden. Die vier Intervalle ohne null müssen als signifikant verschieden von null ausgewiesen werden. Stimmen diese Zuordnungen nicht, ist die Auswertung erneut anhand der angegebenen Grenzen zu prüfen.

Abgrenzungsprüfung: Trenne die Paarvergleiche der Gruppenmittel von der studentisierten Spannweitenverteilung. Trenne außerdem den Viergruppenfall mit gleichen Angaben von der Aussage zu ungleichen Stichprobengrößen. Für ungleiche Stichprobengrößen darf nur festgehalten werden, dass die Quelle eine geschätzte Standardabweichung für jedes Paar nennt und das Verfahren teilweise als Tukey-Kramer-Methode bezeichnet. Weitere Behauptungen benötigen eine zusätzliche direkte Quelle.

Formale Prüfung: Prüfe, ob jedes Paar eindeutig benannt ist, ob beide Intervallgrenzen sichtbar sind und ob die Schlussfolgerung unmittelbar auf die Nullprüfung folgt. Kontrolliere außerdem, dass keine Jahreszahl, kein Epochenmerkmal, kein zusätzlicher Beobachtungswert und kein nicht belegtes Rechenergebnis eingefügt wurde. Wenn ein erforderlicher Wert fehlt, formuliere eine Prüfstelle und ergänze keine Vermutung.

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Quellen und Stand

• Fachquelle: www.itl.nist.gov (geprüft am 2026-08-15)