Wie du den Kontingenzkoeffizienten C aus Chi-Quadrat ermittelst
Kontingenzkoeffizient berechnen: Formel, Beispiel und Grenzen
Der Kontingenzkoeffizient C wird aus dem Chi-Quadrat-Wert und der Stichprobengröße N berechnet und beschreibt den Zusammenhang zweier nominaler Merkmale. Hier findest du die Formel, den Wertebereich, ein Rechenbeispiel mit erfundenen Zahlen und den Unterschied zu Cramers V.
Was der Kontingenzkoeffizient C misst
Der Kontingenzkoeffizient C nach Pearson wird aus dem Chi-Quadrat-Wert und der Stichprobengröße N berechnet und beschreibt den Zusammenhang zweier nominaler Merkmale, also von Merkmalen, deren Ausprägungen Kategorien ohne feste Reihenfolge sind. Die Unterlage der Universität Salzburg bezeichnet ihn als Maß für Kontingenz oder Assoziation und vergleicht ihn analog dazu mit dem, was bei intervallskalierten Daten die Korrelation leistet. C beschreibt damit, wie eng zwei Kategorienmerkmale miteinander verbunden sind.
Die Zahl C beruht auf Häufigkeiten in einer Kreuztabelle, weil der Wert Chi-Quadrat im Chi-Quadrat-Test aus den Abweichungen zwischen beobachteten und erwarteten Häufigkeiten gebildet wird. Laut Universität Göttingen gehört C zu den symmetrischen Zusammenhangsmaßen für nominale Daten, die auf dem Chi-Quadrat-Konzept beruhen, neben Phi und Cramers V.
Wichtig ist die Richtung: C sagt, wie stark zwei nominale Merkmale zusammenhängen, aber nicht in welche Richtung. Wenn du etwa Studienfach und Wohnort gegeneinander auszählst, lässt sich aus der Zahl C kein Muster wie mehr oder weniger ablesen. Willst du mehrere Zusammenhangsmaße vergleichen, nutze den Ratgeber Zusammenhangsmaße in der Statistik verstehen lesen, denn er hilft dir, C neben anderen Maßen einzuordnen.
Formel und Wertebereich
Die Formel lautet: C ergibt sich als Wurzel aus dem Quotienten von Chi-Quadrat und der Summe aus Chi-Quadrat und N. Chi-Quadrat ist der Wert, den du aus deiner Kreuztabelle berechnest, N ist die Gesamtzahl der Beobachtungen. Diese Formel steht in der Unterlage der Universität Salzburg, sodass du deine Rechnung dort gegenprüfen kannst. Für die Obergrenze brauchst du zusätzlich k, die kleinere Zahl von Zeilen und Spalten. Die drei Größen im Überblick:
| Größe | Formel | Wertebereich |
|---|---|---|
| C | Quotient aus Chi-Quadrat und Chi-Quadrat plus N, daraus die Wurzel | Nach oben durch die Obergrenze begrenzt, siehe Zeile drei |
| korrigiertes C | Wurzel aus k geteilt durch (k minus 1), mal C | Prüfe den Bereich im Leitfaden des Fachbereichs |
| Obergrenze von C | Wurzel aus (k minus 1) geteilt durch k | Bei k gleich 2 rund 0,71 |
C ist nach oben auf die Wurzel aus (k minus 1) durch k begrenzt. Bei einer Vierfeldertafel ist k gleich 2, die Obergrenze liegt also bei der Wurzel aus 0,5, rund 0,71. Weil (k minus 1) durch k immer kleiner als 1 ist, bleibt die Obergrenze unter 1, sodass C den Wert 1 nie erreicht. Mit wachsendem k steigt die Obergrenze, weil der Bruch (k minus 1) durch k größer wird.
Ein Rechenbeispiel zur Orientierung: Hat deine Tafel drei Zeilen und drei Spalten, ist k gleich 3, und die Obergrenze liegt bei der Wurzel aus 2 durch 3, rund 0,82. Rechne die Obergrenze mit der oben genannten Formel nach, bevor du sie übernimmst.
Das korrigierte C ergibt sich als Wurzel aus k durch (k minus 1), multipliziert mit C. Die Unterlage der Universität Salzburg nennt diese Formel, legt aber nicht fest, welchen Wertebereich das korrigierte Maß hat. Prüfe diesen Punkt im Leitfaden des Fachbereichs, bevor du ihn in deiner Arbeit angibst.
Wann du das korrigierte C statt C nimmst, legt die Unterlage nicht fest. Frage die betreuende Person oder lies im Leitfaden des Fachbereichs nach, welche Variante verlangt ist.
Rechenbeispiel Schritt für Schritt
Das folgende Rechenbeispiel verwendet erfundene Zahlen, die nur zur Veranschaulichung dienen. Die Vierfeldertafel hat N gleich 100. In Zeile 1 stehen 30 und 20, in Zeile 2 stehen 10 und 40. Rechne die Schritte in dieser Reihenfolge nach.
- Randsummen bilden: Zeilen 50 und 50, Spalten 40 und 60.
- Erwartete Häufigkeiten berechnen: 20, 30, 20, 30.
- Chi-Quadrat bestimmen: 5 plus 3,33 plus 5 plus 3,33, also rund 16,67.
- C berechnen: Wurzel aus 16,67 geteilt durch 116,67 (16,67 plus 100), also rund 0,38.
- Korrigiertes C berechnen: Wurzel aus 2 mal 0,378 (C ungerundet), also rund 0,53.
Die Rechnung zeigt, dass das korrigierte C größer ausfällt als C. Die Rechenschritte stimmen mit den Formeln der Universität Salzburg überein. Ob 0,38 oder 0,53 eine starke oder schwache Beziehung anzeigt, sagt dir die Rechnung nicht, denn die Unterlage nennt dafür keine Grenzen.
Zum Vergleich nennt die Unterlage ein Beispiel mit N gleich 128 und Chi-Quadrat gleich 114,55 aus einer Tafel mit Haarfarbe und Augenfarbe. Dort ergibt sich C gleich 0,69, bei k gleich 3 liegt das korrigierte Maß bei 0,84. Die Zahlen dienen hier als Rechenvorlage, nicht als Maßstab.
Die Auswertung von Zahlen in deiner Arbeit, etwa mit C, gehört zur deskriptiven Statistik, solange du nur den Zusammenhang in deiner Stichprobe beschreibst. Ob das für deine Arbeit gilt, klärst du mit der betreuenden Person.
Unterschied zu Cramers V
Cramers V misst die Stärke des Zusammenhangs zweier nominalskalierter Variablen. Laut Universität Kassel braucht V dafür das empirische Chi-Quadrat, und der Wertebereich reicht von 0 für keinen Zusammenhang bis 1 für einen perfekten Zusammenhang. Bei Vierfeldertafeln ist der Faktor min(I minus 1, J minus 1) stets 1.
Eine ausführliche Erklärung des Alternativmaßes Cramers V, einschließlich der Berechnungsschritte, steht im Ratgeber zu Cramers V; hier genügt der Vergleich der Wertebereiche. Mit den erfundenen Zahlen aus dem Rechenbeispiel ergibt sich V gleich Wurzel aus 16,67 geteilt durch (100 mal 1), also rund 0,41. C liegt bei rund 0,38, das korrigierte C bei rund 0,53. Die drei Werte unterscheiden sich, obwohl sie aus derselben Tafel stammen.
C hat je nach Tabellengröße eine Obergrenze unter 1, während Cramers V den Wert 1 erreicht. Welches Maß du nimmst, klärst du mit der betreuenden Person oder dem Fach.
Für die Beziehung zur Korrelation gilt: Anders als der Korrelationskoeffizient gibt C keine Richtung an, sondern nur die Stärke des Zusammenhangs.
Quellen und Stand
- Universität Salzburg: Häufigkeits- und Kontingenztabellen (PDF): plus.ac.at (geprüft am 2026-10-06)
- Universität Kassel, Angewandte Statistik: Stärke des Zusammenhangs: www.uni-kassel.de (geprüft am 2026-10-06)
- Universität Göttingen, Sozialwissenschaftliche Fakultät: Statistik mit SPSS: uni-goettingen.de (geprüft am 2026-10-06)