Standardnormalverteilung lesen und anwenden

Standardnormalverteilung verständlich erklärt

Die Standardnormalverteilung wird über Symmetrie, Tabellenwerte und Standardisierung erläutert. Der Artikel ordnet den Begriff ein, beschreibt die Tabellenanwendung und zeigt einen Ablauf für Wahrscheinlichkeitsaufgaben.

Standardnormalverteilung bei Wahrscheinlichkeitsaufgaben prüfen

Die Standardnormalverteilung ist die Normalverteilung mit dem Lageparameter 0 und dem Skalenparameter 1. Der Quellenauszug erläutert ihre kumulative Verteilungsfunktion anhand einer Tabelle. Dabei wird die Symmetrie der Normalverteilung verwendet: Der Tabelleneintrag beschreibt die Wahrscheinlichkeit zwischen null und dem Betrag des betrachteten Wertes.

Für eine Wahrscheinlichkeitsaufgabe im Studium oder beim wissenschaftlichen Arbeiten kann der Rechenweg so festgehalten werden: Zuerst wird bestimmt, bis zu welchem Wert oder zwischen welchen Grenzen die Wahrscheinlichkeit gesucht ist. Dann wird geprüft, ob der Wert bereits zur Standardnormalverteilung gehört. Für einen positiven Wert wird der Tabellenwert mit 0,5 verbunden; bei einem negativen Wert wird die entsprechende Auswertung für den Betrag genutzt und von eins abgezogen. Bei zwei Grenzen werden die beiden kumulativen Ergebnisse voneinander abgezogen.

Hat die vorliegende Normalverteilung keinen Lageparameter von 0 oder keinen Skalenparameter von 1, wird der Wert vor dem Nachschlagen standardisiert. Dazu wird der Mittelwert abgezogen und das Ergebnis durch die Standardabweichung geteilt. Der so erhaltene Wert wird in der Tabelle verwendet. Eine nachvollziehbare Darstellung kann daher den gesuchten Bereich, die Standardisierung, den abgelesenen Tabellenwert und die anschließende Rechnung nacheinander zeigen.

So bleibt sichtbar, welcher Wert nachgeschlagen wurde, wie das Vorzeichen behandelt wurde und wie sich das Ergebnis für den gesuchten Bereich ergibt.

Begriff, Merkmale und Anwendung der Tabelle

Für eine Wahrscheinlichkeitsfrage können nacheinander der gesuchte Bereich, eine mögliche Standardisierung, der Tabellenwert und die Rechnung für den Bereich geprüft werden.

1. Verteilungsfunktion: Die Quelle behandelt die kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Die Frage kann eine Wahrscheinlichkeit bis zu einem Wert oder für einen Bereich zwischen zwei Werten betreffen.
2. Symmetrie: Der Tabellenwert beschreibt die Fläche zwischen null und dem Betrag eines Wertes. Die Symmetrie der Normalverteilung liegt dieser Tabellenform zugrunde.
3. Tabellensuche: Im vorgeführten Fall wird für 1,53 zunächst die Zeile 1,5 und anschließend die Spalte 0,03 verwendet. Der Eintrag beschreibt die Fläche zwischen null und dem Betrag des Wertes.
4. Standardisierung: Bei einer Normalverteilung, deren Lageparameter nicht null oder deren Skalenparameter nicht eins ist, wird der Mittelwert abgezogen und das Ergebnis durch die Standardabweichung geteilt. Danach wird der standardisierte Wert nachgeschlagen.
5. Auswertung: Der Tabellenwert wird für die Frage ergänzt, für einen negativen Wert über die in der Quelle angegebene Beziehung verarbeitet oder bei zwei Grenzen mit einer zweiten Grenzauswertung verrechnet.

Für einen positiven Wert ergänzt die Quelle den Tabellenanteil um 0,5. Für einen negativen Wert wird zunächst die Auswertung für den Betrag bestimmt und anschließend von eins abgezogen. Bei zwei Grenzen werden beide Grenzwerte ausgewertet; das Ergebnis der unteren Grenze wird von dem der oberen Grenze abgezogen.

Prüfe im Lösungsweg die Fragestellung, eine mögliche Standardisierung, die Tabellenposition und die abschließende Rechnung.

Ein konkreter Ablauf mit Ergebnis je Schritt

Die Quelle lässt sich als Ablauf mit einem Ergebnis nach jedem Schritt verwenden.

1. Fragestellung bestimmen: Halte fest, ob eine Wahrscheinlichkeit bis zu einer Grenze oder zwischen zwei Grenzen gesucht wird. Ergebnis: Die Form der Rechnung ist bestimmt.
2. Verteilung prüfen: Prüfe, ob der Wert bereits zur Standardnormalverteilung gehört. Bei einer nicht standardisierten Normalverteilung werden Mittelwert und Standardabweichung für die Umrechnung festgehalten. Ergebnis: Der Bedarf an Standardisierung ist geklärt.
3. Wert standardisieren: Ziehe den Mittelwert vom betrachteten Wert ab und teile das Ergebnis durch die Standardabweichung. Ergebnis: Ein standardisierter Wert liegt vor.
4. Tabellenposition finden: Bestimme Zeile und Spalte für den Betrag des Wertes und lies den Eintrag ab. Ergebnis: Die Fläche zwischen null und dem Betrag des Wertes ist bestimmt.
5. Vorzeichen verarbeiten: Verbinde bei einer positiven Grenze den Tabellenwert mit 0,5. Bei einer negativen Grenze ziehe die Auswertung für den Betrag des Wertes von eins ab. Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit bis zur Grenze ist berechnet.
6. Bereich bilden: Werte bei zwei Grenzen beide Grenzen aus und ziehe die untere Auswertung von der oberen ab. Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit zwischen den Grenzen ist berechnet.
7. Rechnung festhalten: Notiere Aufgabenform, mögliche Standardisierung, Tabellenposition und die abschließende Rechnung. Ergebnis: Die einzelnen Schritte bleiben zuordenbar.

Vor dem Abschluss wird geprüft, ob die verwendete Rechnung zur festgehaltenen Aufgabenform passt.

Ein kurzes durchgängiges Anwendungsbeispiel

Eine Aufgabe fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert der Standardnormalverteilung kleiner oder gleich 1,53 ist. Der Wert ist bereits standardnormal, daher ist keine Rechnung mit Mittelwert und Standardabweichung nötig.

1. Zuerst wird die positive Grenze 1,53 in der Tabelle gesucht. Dafür wird die Zeile 1,5 gewählt und anschließend die Spalte 0,03.
2. Am Schnittpunkt steht 0,43699. Dieser Eintrag beschreibt die Wahrscheinlichkeit vom Wert null bis zur positiven Grenze 1,53.
3. Gesucht ist jedoch die Wahrscheinlichkeit für alle Werte bis einschließlich 1,53. Deshalb wird die Wahrscheinlichkeit für Werte unter null, also 0,5, zum Tabellenwert addiert.
4. Die Rechnung lautet 0,5 + 0,43699 = 0,93699.

Damit beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit 0,93699. Der Rechenweg zeigt zugleich, warum der Tabellenwert allein noch nicht das Endergebnis ist: Er deckt nur den Bereich zwischen null und der positiven Grenze ab. Erst die Ergänzung um 0,5 ergibt die Wahrscheinlichkeit bis zu dieser Grenze.

Zum Vergleich lässt sich dieselbe Grenze mit negativem Vorzeichen auswerten. Für −1,53 wird das Ergebnis der positiven Grenze verwendet und von eins abgezogen: 1 − 0,93699 = 0,06301. Die beiden Rechnungen nutzen die Symmetrie, behandeln aber unterschiedliche Seiten von null. Für die ursprüngliche Aufgabe bleibt das Ergebnis für Werte kleiner oder gleich 1,53 bei 0,93699.

Definition, Anwendung und Abgrenzung prüfen

Der Abschluss trennt die fachliche Prüfung von der formalen Prüfung.

Definition prüfen: Ist die Standardnormalverteilung als Bezug der behandelten Verteilungsfunktion und Tabelle genannt? Ist die Tabelle mit der Symmetrie der Normalverteilung verbunden?

Zentrale Merkmale prüfen: Steht beim Tabellenwert die Fläche zwischen null und dem Betrag des Wertes? Ist bei einer nicht standardisierten Normalverteilung das Abziehen des Mittelwerts und das Teilen durch die Standardabweichung angegeben?

Anwendung prüfen: Ist die Wahrscheinlichkeitsform vor der Tabellenlesung festgelegt? Ist für eine positive Grenze die Ergänzung mit 0,5, für eine negative Grenze die Rechnung mit eins minus der Auswertung für den Betrag und für zwei Grenzen die Subtraktion der unteren von der oberen Auswertung nachvollziehbar?

Abgrenzung prüfen: Sind Standardnormalverteilung und nicht standardisierte Normalverteilung getrennt benannt? Steht die Standardisierung vor der Tabellensuche?

Formale Prüfung: Kontrolliere die Zuordnung von Zeile und Spalte, die Vorzeichen, die eingesetzten Grenzen und die Reihenfolge der Rechenschritte. Diese Prüfung betrifft die Darstellung der Rechnung; die Abgrenzung steht davon getrennt.

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Quellen und Stand

• Fachquelle: www.itl.nist.gov (geprüft am 2026-08-15)