Standardabweichung und Varianz im Vergleich

Standardabweichung Varianz Unterschied

In dieser Rechenaufgabe bezeichnen Varianz und Standardabweichung zwei verschiedene Rechenschritte. Du lernst hier, wie du ausgehend von einer konkreten Zufallsvariable zunächst den Erwartungswert berechnest, dann die Varianz ermittelst und schließlich zur Standardabweichung gelangst.

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Lernkarten Statistik: 16 Karteikarten

Der Unterschied zwischen Standardabweichung und Varianz, begleitet von 16 Statistik-Grundbegriffen für das Auswertungskapitel. Vorn steht der Begriff, hinten folgt die Erklärung in ein bis zwei Sätzen.

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Weg von der Frage hin zum Ergebnis

Eine sinnvolle Frage lautet: Wie bestimmst du für eine gegebene Zufallsvariable nacheinander die Varianz und die Standardabweichung, und worin liegt der rechnerische Unterschied? Am Ende stehen ein ausgewiesener Erwartungswert, ein eingesetzter Varianzausdruck sowie die daraus abgeleitete Standardabweichung.

Den Zusammenhang beschreibt man am besten durch die rechnerischen Schritte. Zuerst quadrierst du die Differenzen zwischen den möglichen Werten und ihrem Erwartungswert. Diese Terme gewichtest du entsprechend ihrer Wahrscheinlichkeiten und summierst sie, um die Varianz zu bilden. Die daraus resultierende Standardabweichung ergibt sich durch das Wurzelziehen aus dieser Varianz. Als Beispiel dient eine Zufallsvariable für die Augenzahl eines sechsseitigen Laplace-Würfels. Hier liegt der Erwartungswert bei 3,5. Die berechnete Varianz beträgt 35/12, also circa 2,92. Entsprechend fällt die Standardabweichung mit circa 1,71 aus.

Bei einer Aufgabe zum Thema wissenschaftliches Schreiben trennst du die Frage klar vom Rechenweg. Eine Erklärung ist noch kein fertiges Ergebnis, solange Werte, Wahrscheinlichkeiten, Formeln und Zwischenschritte nicht nachvollziehbar eingesetzt sind. Wer eine Hausarbeit schreiben oder eine Masterarbeit schreiben möchte, formuliert deshalb am besten eine begrenzte, prüfbare Berechnung, ohne aus einem einzelnen Rechenbeispiel zusätzliche Aussagen abzuleiten.

Die Bestandteile in nachvollziehbarer Reihenfolge

Am Anfang steht die Frage zum Unterschied von Varianz und Standardabweichung. Definiere zunächst, welche Zufallsvariable du betrachtest und welches Ergebnis du bestimmen willst, zum Beispiel: Welche Varianz und welche Standardabweichung ergeben sich für die betrachtete Zufallsvariable?

1. Rechenweg festlegen: Lege den vorgegebenen Rechenweg zugrunde. Erkennbar sein müssen die möglichen Werte, ihre Wahrscheinlichkeiten, der Erwartungswert, die Varianzformel und der Schritt zur Standardabweichung.
2. Material oder Daten ordnen: Schreibe den Ergebnisraum, die möglichen Werte und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten geordnet auf. Im Würfelbeispiel lautet der Ergebnisraum 1, 2, 3, 4, 5 und 6; jede Augenzahl wird mit 1/6 angesetzt.
3. Rechnen: Berechne zuerst den Erwartungswert. Danach setzt du die Werte in die Varianzformel ein. Die Quelle verwendet dafür die gewichtete Summe der quadrierten Abweichungen vom Erwartungswert.
4. Das Ergebnis ableiten: Vereinfache den Varianzterm und ziehe anschließend die Quadratwurzel. So bleiben Varianz und Standardabweichung als getrennte Ergebnisse sichtbar.
5. Vergleiche jeden eingesetzten Wert mit den Ausgangsdaten.

Diese Reihenfolge entspricht dem, was Bestandteile einer wissenschaftlichen Arbeit beschreiben, wenn du sie als Strukturhilfe für deine Darstellung nutzt. Eine Gliederung einer Hausarbeit kann Frage, Datengrundlage, Rechnung und Ergebnisprüfung sichtbar trennen. Erläutere die Rechenschritte präzise und in der Reihenfolge der Berechnung.

Zur Dokumentation gehört auch die Quelle: Du kannst Quellenangaben richtig zitieren, das Literaturverzeichnis erstellen und die gewählten Zitierweisen an den jeweiligen Vorgaben prüfen. deutsche Zitierweise und Harvard-Zitierweise sind hier keine Rechenregeln.

Schritt für Schritt rechnen und dokumentieren

Jeder Arbeitsschritt lässt sich als kompakter Block mit eigenem Ergebnis festhalten.

1. Aufgabe erfassen: Notiere die Zufallsvariable, ihre möglichen Werte und die Wahrscheinlichkeiten. Ergebnis dieses Schritts ist eine vollständige Datengrundlage für die Rechnung.
2. Erwartungswert bestimmen: Multipliziere jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addiere die Produkte. Im Würfelbeispiel ergibt diese Summe 3,5. Ergebnis ist der Erwartungswert μ = 3,5.
3. Abweichungen einsetzen: Berechne die Differenz zwischen jedem möglichen Wert und dem Erwartungswert und quadriere sie. Du erhältst die quadrierten Abweichungen für den Varianzterm.
4. Varianz berechnen: Multipliziere jede quadrierte Abweichung mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit und addiere alle Terme. Die Summe aller Anteile ergibt die gesuchte Größe. Im konkreten Fall liegt der Wert bei 35/12 beziehungsweise knapp 2,92. Diese Kennzahl bezeichnet man als V(X).
5. Standardabweichung ableiten: Ziehe die Quadratwurzel aus der Varianz. Im Beispiel wird aus ungefähr 2,92 eine Standardabweichung von ungefähr 1,71. Ergebnis ist σ(X) ≈ 1,71.
6. Darstellung prüfen: Markiere eindeutig, ob ein numerischer Befund zur Varianz oder zur Standardabweichung zählt. So vermeidet man eine unklare Zahlenliste und schafft transparente Bezüge.

Solltest du eine Forschungsfrage formulieren, begrenze den Fokus auf die jeweilige Rechenaufgabe. Beim Thema wissenschaftliche Argumentation beschränkst du dich auf die ersichtlichen Rechenschritte sowie ihre Ergebnisse. Rückschlüsse auf Methoden wissenschaftlicher Arbeiten oder qualitative und quantitative Forschung sind aus dieser isolierten Rechnung nicht möglich.

Für die abschließende Textfassung nennst du zuerst die Ausgangsdaten, zeigst dann den Erwartungswert, rechnest anschließend die Varianz aus und gibst zuletzt die Standardabweichung an. Dieser Ablauf folgt dem beschriebenen Rechenweg. Prüfe nach jedem Schritt, ob das Zwischenergebnis für den nächsten Schritt eindeutig feststeht.

Ein durchgängiges Beispiel mit einem Würfel

Gegeben sei ein sechsseitiger Laplace-Würfel. Die Zufallsvariable X bezeichnet die beim Wurf gezeigte Augenzahl. Als mögliche Werte kommen 1 bis 6 in Betracht, jeder mit der Wahrscheinlichkeit 1/6.

Im Zentrum steht die Ermittlung von Varianz und Standardabweichung für diese Zufallsvariable entlang des vorgegebenen Pfads. Als ersten Schritt bestimmst du den Erwartungswert. Dabei multiplizierst du jede der sechs möglichen Augenzahlen mit 1/6 und summierst die Werte. So erhältst du μ = 3,5.

Anschließend berechnest du für jeden möglichen Wert die quadrierte Abweichung von 3,5 und multiplizierst sie mit 1/6. Der vollständige Varianzterm lautet: V(X) = 1/6 · (1 − 3,5)² + 1/6 · (2 − 3,5)² + 1/6 · (3 − 3,5)² + 1/6 · (4 − 3,5)² + 1/6 · (5 − 3,5)² + 1/6 · (6 − 3,5)². Nach dem Vereinfachen wird die Varianz mit 35/12 beziehungsweise ungefähr 2,92 angegeben.

Für die Standardabweichung wird die Quadratwurzel aus diesem Varianzwert gezogen. Das Ergebnis wird mit ungefähr 1,71 angegeben. Damit stehen zwei getrennte Resultate im Text: die Varianz ungefähr 2,92 und die Standardabweichung ungefähr 1,71. Das Beispiel ist damit eine ausgeführte Berechnung für genau diese Zufallsvariable. Es ist kein allgemeiner Überblick über andere Verteilungen und kein Ersatz für die Prüfung einer abweichenden Aufgabenstellung.

Wenn du dieses Beispiel in einen eigenen Fachtext überführst, kannst du zunächst die Gliederung einer Hausarbeit oder die Struktur deines Abschnitts festlegen. Achte anschließend darauf, beim Plagiat vermeiden den Rechenweg eigenständig darzustellen und die Herkunft übernommener Inhalte klar zu kennzeichnen. Eine eigene Darstellung muss die konkreten Daten und Rechenschritte korrekt wiedergeben.

Abgrenzung und formale Prüfung getrennt durchführen

Die Prüfung umfasst zwei Teile: einen inhaltlichen und einen formalen.

• Bezieht sich die Frage eindeutig auf die Varianz und die Standardabweichung der betrachteten Zufallsvariable?
• Ist der Rechenweg vorgegeben und sind alle Bedingungen geprüft?
• Steht die Gesamtheit aller Werte samt Anteilen bereit?
• Wurde der Erwartungswert vor der Varianzberechnung bestimmt?
• Wird die Varianz als gewichtete Summe quadrierter Abweichungen vom Erwartungswert berechnet?
• Entsteht die Standardabweichung durch Wurzelziehen aus der Varianz?
• Sind Varianz und Standardabweichung mit dem jeweils passenden Ergebnis bezeichnet?
• Sichern sichtbare Zwischenrechnungen die volle Nachvollziehbarkeit?

• Kontrolliere, dass jede zitierte Quelle in der vorgeschriebenen Weise festgehalten wurde.
• Quellenangaben richtig zitieren: Kontrolliere die Passung aller Details zum System.
• Wenn du dich für deutsche Zitierweise oder Harvard-Zitierweise entscheidest, ermittle die geltenden formalen Vorgaben aus den offiziellen Unterlagen deines Kontexts.
• Achte auf korrekte Notationen bei Symbolen, Anteilen, Gleichheitszeichen sowie Maßeinheiten.
• Formuliere Rechenvorgänge selbstständig, damit fremdes Material nicht als eigene Leistung wirkt.

Für die sprachliche Überarbeitung kannst du den Text zum Thema wissenschaftliches Schreiben auf klare Sätze, nachvollziehbare Bezüge und eine eindeutige Zuordnung der Zahlen prüfen. Die formale Prüfung ergänzt die fachliche Kontrolle, ersetzt sie aber nicht.

Quellen und Stand

• Aufgaben zu Varianz und Standardabweichung: de.serlo.org (Stand: 2026-08-30)