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So berechnest du die gepoolte Standardabweichung

Gepoolte Standardabweichung: zwei Gruppen, ein gemeinsamer Wert

Lesezeit ca. 7 Min. · zuletzt aktualisiert: 2. Oktober 2026 · Standardabweichung in der Statistik

Die gepoolte Standardabweichung fasst die Streuung zweier Gruppen zu einem gemeinsamen Wert zusammen. Die Berechnung verbindet beide Gruppenvarianzen gewichtet mit ihren Freiheitsgraden und schließt mit einem Wurzelzug ab; im t-Test für unabhängige Stichproben ist dieser Wert ein zentraler Baustein, sofern die Streuungen in beiden Gruppen ähnlich sind.

Was bedeutet gepoolt bei der Standardabweichung?

Gepoolt heißt, dass die Streuung mehrerer Gruppen zu einem gemeinsamen Schätzwert zusammengefasst wird. Dieser gemeinsame Schätzwert beschreibt, wie stark die Werte innerhalb der Gruppen um ihren jeweiligen Mittelwert streuen, ohne die Gruppen getrennt zu betrachten. Das Lexikon der medizinischen Laboratoriumsdiagnostik beschreibt die gepoolte Varianz als ein Maß für die gemeinsame Variabilität innerhalb von zwei oder mehr Stichproben. Bei mehreren Stichproben entsteht dieser Wert, indem die einzelnen Varianzen entsprechend ihrer jeweiligen Stichprobenumfänge gewichtet und gemittelt werden. Größere Gruppen fließen also stärker in das Ergebnis ein als kleinere Gruppen, weil ihre Varianzschätzung auf mehr Beobachtungen beruht.

Die gepoolte Standardabweichung ist die Wurzel aus dieser gepoolten Varianz. Damit folgt sie demselben Prinzip, das auch sonst zwischen beiden Kennwerten gilt: Wer den Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung verstehen möchte, kann sich merken, dass die Standardabweichung stets aus dem Wurzelziehen der zugehörigen Varianz entsteht. Die Varianz selbst ist schwerer zu interpretieren, weil ihre Einheit quadriert ist, während die Standardabweichung wieder in der ursprünglichen Einheit der Messwerte vorliegt. Für zwei Gruppen bedeutet das praktisch: Zunächst wird aus den beiden Einzelvarianzen eine gemeinsame, gewichtete Varianz bestimmt, und erst im letzten Schritt wird daraus durch Wurzelziehen die gepoolte Standardabweichung berechnet. Diese Reihenfolge ist wichtig, denn ein direktes Mitteln der beiden Standardabweichungen ohne vorheriges Quadrieren würde zu einem anderen, nicht korrekt gewichteten Ergebnis führen.

Gepoolte Standardabweichung: der Ablauf in drei Schritten

Formel und Rechenbeispiel Schritt für Schritt

Nach dem NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods wird die gepoolte Standardabweichung aus den beiden Stichprobenstandardabweichungen geschätzt, wobei jede Gruppenvarianz mit ihren jeweiligen Freiheitsgraden gewichtet wird. Die Freiheitsgrade einer Gruppe entsprechen dabei der Gruppengröße minus eins. Die gewichteten Varianzen werden addiert und anschließend durch die Summe der Freiheitsgrade beider Gruppen geteilt, also durch nA plus nB minus 2. Aus diesem Quotienten wird am Ende die Wurzel gezogen. Weil die Werte je Gruppe aus Stichproben stammen, handelt es sich bei den eingesetzten Streuungsmaßen jeweils um eine Standardabweichung einer Stichprobe und nicht um eine Standardabweichung der gesamten Population.

Als Schrittfolge lässt sich das Vorgehen so zusammenfassen:

  1. Jede der beiden Gruppenstandardabweichungen quadrieren, um die jeweilige Varianz zu erhalten.
  2. Jede Varianz mit der Gruppengröße minus eins malnehmen, also mit den Freiheitsgraden der jeweiligen Gruppe.
  3. Beide gewichteten Werte addieren.
  4. Die Summe durch nA plus nB minus 2 teilen.
  5. Aus dem Ergebnis die Wurzel ziehen, um die gepoolte Standardabweichung zu erhalten.

Zur Veranschaulichung dient ein frei gewähltes, ausgedachtes Beispiel mit kleinen Zahlen: Gruppe 1 hat 4 Personen und eine Standardabweichung von 2, Gruppe 2 hat 6 Personen und eine Standardabweichung von 3. Die Freiheitsgrade betragen damit 3 für Gruppe 1 und 5 für Gruppe 2. Die quadrierten Standardabweichungen sind 4 und 9. Gewichtet ergibt das 3 mal 4 plus 5 mal 9, also 12 plus 45, zusammen 57. Geteilt durch die Summe der Freiheitsgrade, nämlich 8, ergibt sich 7,125. Die Wurzel aus 7,125 liegt gerundet bei 2,669. Dieser Wert ist die gepoolte Standardabweichung für das erfundene Beispiel und dient ausschließlich der Veranschaulichung der Rechenschritte.

Wo die gepoolte Standardabweichung im t-Test gebraucht wird

Die gepoolte Standardabweichung spielt beim Zweistichproben-t-Test eine Rolle, wenn für beide Gruppen dieselbe Standardabweichung angenommen wird. Unter dieser Annahme wird die gemeinsame Streuung aus beiden Gruppen geschätzt, und die Teststatistik erhält dann nA plus nB minus 2 Freiheitsgrade, wie es im NIST-Handbuch für diesen Testfall beschrieben wird. Der t-Test für zwei unabhängige Stichproben vergleicht die Mittelwerte beider Gruppen; die gepoolte Standardabweichung ist dort ein Baustein der Berechnung, sofern die Annahme gleicher Streuung zutrifft.

Damit diese Annahme nicht nur rechnerisch, sondern auch methodisch sinnvoll ist, nennt die Methodenberatung der Universität Zürich für den t-Test bei unabhängigen Stichproben unter anderem annähernd gleiche Varianzen in beiden Gruppen als eine der Voraussetzungen, neben Intervallskalierung und Normalverteilung. Diese Voraussetzung wird dort als Varianzhomogenität bezeichnet. Eine Prüfung dieser Voraussetzung nimmst du anhand deiner eigenen Daten und der verwendeten Statistiksoftware vor.

Sollen mehr als zwei Gruppen gleichzeitig verglichen werden, ist nicht mehr der Zweistichproben-t-Test das passende Verfahren. Für diesen Fall kommt die Varianzanalyse zum Einsatz, die für den Vergleich mehrerer Gruppen konzipiert ist; eine eigene Formel für die gepoolte Standardabweichung wird an dieser Stelle nicht behauptet. Neben der reinen Signifikanzprüfung lässt sich auch die Größe eines gefundenen Unterschieds einordnen. Dafür werden Effektstärken nach Cohen herangezogen, die einen Mittelwertunterschied ins Verhältnis zu einem Streuungsmaß setzen.

Gepoolte Standardabweichung: Prüfliste mit vier Punkten

Wann man besser nicht poolt

Die gepoolte Standardabweichung setzt voraus, dass beide Gruppen tatsächlich eine ähnliche Streuung aufweisen. Ist das nicht der Fall, prüfst du anhand der berechneten Gruppenstandardabweichungen, ob stattdessen eine Alternative zum gepoolten Verfahren infrage kommt. Für Situationen mit ungleichen Standardabweichungen nennt das NIST-Handbuch als Alternative die Näherung nach Welch und Satterthwaite, die ohne die Annahme gleicher Streuung auskommt. Diese Alternative berechnet die Freiheitsgrade und die Teststatistik auf einem anderen Weg als beim gepoolten Verfahren.

Bevor eine gepoolte Standardabweichung berechnet wird, empfiehlt sich eine kurze Prüfung der folgenden Punkte:

  • Die Streuung in den beiden Gruppen wirkt ähnlich, zum Beispiel anhand der berechneten Standardabweichungen je Gruppe.
  • Die Gruppengrößen beider Stichproben sind bekannt und für die Berechnung der Freiheitsgrade verfügbar.
  • Die verwendete Testvariante, also gepoolter t-Test oder Näherung nach Welch und Satterthwaite, wird im Methodenteil der eigenen Arbeit ausdrücklich genannt.

Eine feste Faustregel dafür, ab welchem Verhältnis der beiden Varianzen ein Poolen nicht mehr sinnvoll ist, wird an dieser Stelle nicht angegeben. Die Wahl der passenden Testvariante für den konkreten Datensatz wird im Einzelfall mit der betreuenden Person oder mit der Methodenberatung der eigenen Hochschule geklärt. Das gilt besonders dann, wenn die Streuungen der beiden Gruppen deutlich voneinander abweichen und unklar bleibt, welches Verfahren im Methodenteil der Arbeit anzugeben ist.

Quellen und Stand

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Häufige Fragen zur gepoolten Standardabweichung

Ist die gepoolte Standardabweichung dasselbe wie der Mittelwert beider Gruppenstandardabweichungen?

Nein. Nach dem Lexikon der medizinischen Laboratoriumsdiagnostik entsteht die gepoolte Varianz durch eine nach den Stichprobenumfängen gewichtete Mittelung der Einzelvarianzen, nicht durch ein einfaches Mitteln der Standardabweichungen selbst. Erst nach dieser gewichteten Mittelung der Varianzen wird am Ende die Wurzel gezogen, um die gepoolte Standardabweichung zu erhalten.

Warum werden bei der Berechnung die Freiheitsgrade statt der Gruppengrößen verwendet?

Das NIST-Handbuch beschreibt die Gewichtung der beiden Gruppenvarianzen anhand ihrer Freiheitsgrade, also der jeweiligen Gruppengröße minus eins. Diese Gewichtung bildet ab, wie viele unabhängige Informationen jede Gruppe zur Streuungsschätzung beiträgt, und die Summe dieser Freiheitsgrade, nA plus nB minus 2, bildet zugleich den Nenner der Formel.

Kann ich die gepoolte Standardabweichung auch für mehr als zwei Gruppen berechnen?

Das Lexikon der medizinischen Laboratoriumsdiagnostik beschreibt die gepoolte Varianz allgemein als gemeinsame Variabilität innerhalb von zwei oder mehr Stichproben. Der Rechenweg mit nA plus nB minus 2 Freiheitsgraden gilt für den Zweistichproben-t-Test. Für den Vergleich mehrerer Gruppen gleichzeitig ist die Varianzanalyse das dafür vorgesehene Verfahren.

Was mache ich, wenn die Varianzen meiner beiden Gruppen deutlich unterschiedlich sind?

In diesem Fall nennt das NIST-Handbuch als Alternative zum gepoolten Verfahren die Näherung nach Welch und Satterthwaite, die ohne die Annahme gleicher Standardabweichungen in beiden Gruppen arbeitet. Prüfe anhand deiner eigenen Daten und deiner Statistiksoftware, welche der beiden Varianten für deinen Datensatz vorgesehen ist.

Woher weiß ich, ob die Voraussetzung der Varianzhomogenität bei meinem t-Test erfüllt ist?

Die Methodenberatung der Universität Zürich nennt annähernd gleiche Varianzen in beiden Gruppen als eine der Voraussetzungen für den t-Test bei unabhängigen Stichproben, neben Intervallskalierung und Normalverteilung. Eine konkrete Prüfung dieser Voraussetzung solltest du anhand deines eigenen Datensatzes und der dafür vorgesehenen Funktionen deiner Statistiksoftware vornehmen.

Reicht die gepoolte Standardabweichung allein aus, um die Stärke eines Gruppenunterschieds zu beurteilen?

Die gepoolte Standardabweichung ist ein Streuungsmaß und sagt für sich allein noch nichts über die Größe eines Mittelwertunterschieds aus. Für diese Einordnung werden Effektstärken nach Cohen verwendet, die einen Mittelwertunterschied ins Verhältnis zu einem Streuungsmaß setzen. Eine Rechenformel für diesen Kennwert wird an dieser Stelle nicht dargestellt.

Muss ich im Methodenteil meiner Arbeit angeben, welche Testvariante ich verwendet habe?

Prüfe vor dem Poolen unter anderem, ob die verwendete Testvariante, also der gepoolte t-Test oder die Näherung nach Welch und Satterthwaite, im Methodenteil deiner Arbeit genannt wird. Dies wird hier als Empfehlung zur Nachvollziehbarkeit formuliert. Bei offenen Fragen zur konkreten Umsetzung ist eine Rücksprache mit der betreuenden Person oder der Methodenberatung deiner Hochschule sinnvoll.

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