Laplace-Experiment: Definition einfach erklärt
Gleich wahrscheinliche Ergebnisse als Voraussetzung der Laplace-Formel
Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit einer endlichen Ergebnismenge, bei dem alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. Für ein Ereignis A gilt dann: P(A) = Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch Anzahl aller möglichen Ergebnisse. Ein fairer sechsseitiger Würfel ist das Standardbeispiel. Das Ereignis gerade Zahl enthält die Ergebnisse 2, 4 und 6. Deshalb ist seine Wahrscheinlichkeit 3/6 = 1/2.
Zwei Voraussetzungen
Erstens muss die Ergebnismenge endlich sein. Zweitens müssen ihre elementaren Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen. Erst dann darf man günstige durch mögliche Ergebnisse teilen. Das Wort zufällig allein reicht nicht.
Bei einem fairen Würfel ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Jedes Ergebnis hat Wahrscheinlichkeit 1/6. Bei einem manipulierten Würfel kann dieselbe Ergebnismenge vorliegen, die Wahrscheinlichkeiten sind aber nicht gleich. Dann ist es kein Laplace-Experiment.
Die Laplace-Formel
Schreibt man |A| für die Anzahl der Ergebnisse im Ereignis A und |Ω| für die Anzahl aller Elementarereignisse, lautet die Formel P(A) = |A| / |Ω|. Das Ergebnis liegt zwischen 0 und 1. Multipliziert mit 100 erhält man Prozent.
Die Zählung muss sich auf gleich wahrscheinliche Elementarereignisse beziehen. Bei zwei Würfeln sind nicht die Summen 2 bis 12 gleich wahrscheinlich. Gleich wahrscheinlich sind die 36 geordneten Paare von (1,1) bis (6,6).
Beispiel mit zwei Würfeln
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für die Summe 7. Günstig sind sechs Paare: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) und (6,1). Insgesamt gibt es 6 mal 6 = 36 gleich wahrscheinliche Paare. Daher gilt P(Summe 7) = 6/36 = 1/6.
Wer nur elf mögliche Summen zählt und 1/11 ansetzt, wählt keine gleich wahrscheinlichen Ergebnisse. Die Summe 2 entsteht nur einmal, die Summe 7 dagegen sechsmal.
Münzen und Karten
Bei einer idealisierten fairen Münze sind Kopf und Zahl gleich wahrscheinlich. Bei zwei unabhängigen Würfen sind KK, KZ, ZK und ZZ gleich wahrscheinlich. Genau einmal Kopf tritt in zwei von vier Folgen auf und hat Wahrscheinlichkeit 1/2.
Beim Ziehen einer Karte aus einem gut gemischten vollständigen Stapel können die einzelnen Karten als gleich wahrscheinlich modelliert werden. Ob diese Annahme praktisch gerechtfertigt ist, hängt von Mischverfahren und Versuchsanordnung ab.
Gegenereignis und Baumdiagramm
Das Gegenereignis Ā enthält alle Ergebnisse, die nicht zu A gehören. Es gilt P(Ā) = 1 - P(A). Für mindestens eine Sechs bei zwei Würfen ist es leichter, zuerst keine Sechs zu berechnen: (5/6)². Das gesuchte Ergebnis ist 1 - 25/36 = 11/36.
Ein Baumdiagramm hilft bei mehrstufigen Versuchen. Entlang eines Pfades werden Wahrscheinlichkeiten multipliziert, alternative passende Pfade werden addiert. Nicht jeder mehrstufige Versuch bleibt Laplace auf einer beliebig gewählten Ergebnisebene.
Typische Denkfehler
Der häufigste Fehler lautet: Es gibt zwei Möglichkeiten, also jeweils 50 Prozent. Möglichkeiten müssen nicht gleich wahrscheinlich sein. Auch Gewinn und Verlust sind zwei Kategorien, können aber sehr unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten haben.
Ein weiterer Fehler ist eine unvollständige Ergebnismenge. Definiere zuerst das einzelne Ergebnis, liste oder zähle Ω und prüfe Symmetrie oder Modellannahme. Erst danach wendest du die Formel an.
Ergebnis, Ereignis und Wahrscheinlichkeit
Ein Ergebnis ist ein einzelner möglicher Ausgang, ein Ereignis eine Menge solcher Ergebnisse. Beim Würfel ist 4 ein Ergebnis. gerade Zahl ist das Ereignis {2, 4, 6}. Die Wahrscheinlichkeit wird dem Ereignis zugeordnet, nicht der sprachlichen Beschreibung allein.
Zwei verschieden formulierte Ereignisse können dieselbe Ergebnismenge besitzen. höchstens 3 und kleiner als 4 ergeben beide {1, 2, 3}. Umgekehrt kann dieselbe Alltagssprache bei anderer Ergebnismenge eine andere Wahrscheinlichkeit haben.
Saubere Lösungen definieren deshalb Symbole. Ω bezeichnet die Ergebnismenge, A das gesuchte Ereignis und |A| seine Anzahl. Diese Notation verhindert, dass günstige Fälle doppelt gezählt oder mögliche Fälle vergessen werden. Sie ist keine zusätzliche Schwierigkeit, sondern eine Kontrolle der Modellierung.
Mit und ohne Zurücklegen
Eine Urne enthält drei rote und zwei blaue Kugeln. Bei einem Zug ist jede einzelne Kugel gleich wahrscheinlich. Das Ereignis rot enthält drei günstige Kugeln von fünf, also P(rot) = 3/5. Werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen und nach jedem Zug neu gemischt, sind die 25 geordneten Paare einzelner Kugeln gleich wahrscheinlich. Die Farben allein sind dagegen nicht gleich wahrscheinlich, weil hinter Rot mehr Kugeln stehen.
Ohne Zurücklegen verändert der erste Zug die Zusammensetzung. Nach einer roten Kugel bleiben zwei rote und zwei blaue Kugeln, nach einer blauen bleiben drei rote und eine blaue. Ein Baumdiagramm bildet diese bedingten Wahrscheinlichkeiten ab. Die einfache Laplace-Zählung kann weiterhin funktionieren, wenn man als Elementarereignisse die gleich wahrscheinlichen geordneten Paare verschiedener Kugeln wählt. Man darf aber nicht blind dieselbe Bruchzahl für jeden Ast verwenden.
Das Beispiel zeigt, dass mit Zurücklegen und ohne Zurücklegen keine Nebendetails sind. Sie bestimmen Unabhängigkeit und Wahrscheinlichkeiten. Eine vollständige Aufgabenlösung nennt Versuch, Reihenfolge, Zurücklegen und Ergebnismenge, bevor gerechnet wird. Erst auf dieser Grundlage ist erkennbar, ob die verwendeten Ergebnisse wirklich gleich wahrscheinlich sind und ob die Laplace-Formel auf der gewählten Ebene zulässig ist.
Hochschulquelle
Ein Stochastikskript der Humboldt-Universität zu Berlin definiert Laplace-Räume über eine endliche Menge mit Gleichverteilung und leitet die Zählformel her.
Die Beispiele auf dieser Seite sind elementare eigene Rechenbeispiele. Reale Münzen, Würfel und Mischvorgänge sind Modellannahmen und müssen bei empirischen Anwendungen geprüft werden. Stand: 9. August 2026.